光学解像度の理論限界

相対性理論をアインシュタインが発見し、世界で最初の検証実験が皆既日食の時に見える恒星の位置観測だったという。

相対性理論どおり、重力により光線が曲げられて太陽を挟んだ２つのみかけの星の位置が本来の角度よりも、広がって見えた。

ところで、量子力学の日常生活での検証の1例が、レンズの光学解像度の理論限界と言われている。
「速度と位置は同時に精度高く観測できない。」
「運動量と位置は同時に精度高く観測できない。」などと言われる。

不確定性原理だ。

一時期、ロシアの天才科学者でさえ、哲学的な迷路に嵌ったアレだ。

式で書くと、
［Δｐ＊Δｘ　〜　ｈ］
Δｐは運動量の精度、
Δｘは位置の精度、
ｈはプランク定数

レンズの光学解像度にこれを応用すると、、

物体から、出る光をレンズで結像する場合を考える。
光軸中心から為す角度Θで見込む光路を含む円錐の光がレンズに入る。
上図、X軸方向の解像度は、このレンズに入射される光の運動量のX軸方向の自由度に反比例する。
つまり、θが広ければ広い程、X方向の解像度は増す。

Δｐ＊Δｘ　〜　ｈ
光の運動量は、ｈ/λ
上図、P1とP2がX軸方向では、「逆」の運動量を持ち最大差となる。
Δｐ＝２＊（ｈ／λ）sinθ
よって、解像度　Δｘは、
Δｘ＝ｈ／（Δｐ）＝λ／（２＊sinθ）
sinθのことをレンズ業界では、NAという。
よって、
Δｘ＝ｈ／（Δｐ）＝λ／２NA
λ＝０．５４μｍ（緑）とすれば、
Δｘ＝ｈ／（Δｐ）＝０．２７／NA

○簡単な計算：
ES-10000Gを分解してみると（笑）
レンズの直径は、だいたい30mmくらい。半径：１５ｍｍ
原稿からレンズまでの距離はだいたい３００mmくらい。
なのでだいたい、NA＝0.05
Δｘ＝０．２７／０．０５＝５．４μｍ

ということで、理屈上は、4800ppiくらいのレンズは原理的には可能性があるってことですね。 

○簡単な計算その２：

昨日話題にしたnanoha

センサ側を５μｍとして、

ｘ５レンズならば、

物体側分解能は、１μｍとなる。

１μｍを分解する理論状のNAは、０．２７ ですね。

レンズ先端から１１ｍｍにピント位置があるらしいので、

レンズ半径は、３mm。直径は、６mm以上必要ってことになる。

図を見ると　Φ１２ｍｍくらいはありそうですね。

■関連発言：

リアル2400ppi（SFR > 0.3 at 45 Cycle /mm）スキャナの開発に着手します。

■ネタばらし：

勉強された方にはばればれですが、出典は、小出昭一郞先生の量子力学です。

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学生時代は全く勉強しなかったけど、独学で小出先生の本を読んで感動した。