２つのベクトルの内積で角度を計測する

以前、予め高精度に計測したテストチャートをスキャンし、画像から、イメージスキャナの直角精度を計測しました。

ES-10000Gの直角精度 (2010年8月28日)

この方法を使うと、直交精度の高いイメージスキャナさえ手に入れば、これを使って、スキャンされた画像から、３点が作る三角形の角度を計測できます。

Phtoshopの角度測定や、ImageJの角度測定の表示精度は、0.01度ですので、更に高い計測精度が必要な時にこの方法を使います。

■ベクトルの内積で内角を計算する
A --------- B
|
|
|
C

上記のように、A,B,Cの３つの点の中心画素位置を計測し、
（Set Scale..参照）
得られたpixel値を下記の通りとします。
A:(xa,ya)
B:(xb,yb)
C:(xc,yc)

C-A-Bの作る角度は下記で計算します。

内積：(xb-xa)*(xc-xa)+(yb-ya)*(yc-ya)
一方、内積= |B-A|*|C-A|cosθ
|B-A|：点Aから点Bに向かう線分の長さ。
|C-A|：点Aから点Cに向かう線分の長さ。
なので、
|B-A|=sqrt((xb-xa)^2 + (yb-ya)^2)
|C-A|=sqrt((xc-xa)^2 + (yc-ya)^2)
sqrtは平方根。

cosθ= ((xb-xa)*(xc-xa)+(yb-ya)*(yc-ya))/(|B-A|*|C-A|)
excelでは、cosの逆関数　=ACOS()
で得られる角度結果は、ラジアンですので、
更に、*180/PI()　を掛けて、degreeに変換します。
radianとdegreeは、
π　radian = 180 degree
の関係があるためです。